Monty Hall problem and Behavioural Economics
「Monty Hall難題」與行為經濟學
Monty Hall（1921-2017）是經典電視遊戲節目Let’s Make a Deal主持人。節目在1963年首播；自此，Monty Hall一直是節目主持，至1986年節目一度停播為止。作為Let’s Make a Deal首任節目主持人，主持此節目更逾20年，Monty Hall自然成為Let’s Make a Deal的代表。（Let’s Make a Deal是長青節目，目前仍在美國電視網絡CBS播放，現任節目主持為Wayne Brady。）
Let’s Make a Deal的遊戲規則如下。有三扇門，主持（Monty Hall）將一輛全新汽車隱藏於其中一扇門後，其餘兩扇門的門後皆是空的。如果遊戲參加者最終選的門後有汽車，他（她）便贏取此大獎；如果他最終選的門後是空的，他只會得到一份無實質價值的安慰獎。遊戲的目的是選中有車在後面的那扇門。
Monty Hall先邀請一位觀眾成為參加者，再邀請他在三扇門中先擇其一。之後，Monty Hall會在參加者沒選的兩扇門中打開一扇後面沒有車的門，即還有兩扇門仍然關閉（參加者之前選的一扇和另外Monty Hall沒有打開的一扇）。最後，Monty Hall問參加者：「轉不轉選另一扇門？」此為「Monty Hall難題」（Monty Hall Problem）。
一般人並不覺得Monty Hall難題特別難，數據顯示大部分人「不轉選另一扇門」；他們可能認為有車在此兩扇門後的機會均等，即各為二分一，因此「轉選另一扇門」不會增加中獎機會，所以便「不轉選」了。Monty Hall難題之所以難，因為以上的觀點是錯的；正確答案是「不轉選」的中獎機會只有三分一，而「轉選」的中獎機會則是三分二。很多人覺得此答案難以置信，以下的解釋或可幫助讀者解開疑團。
三扇門分別為A、B、C，【表1】是「不轉選」的中獎結果：
Monty Hall隱藏車在 | 參加者先選 | Monty Hall打開 | 參加者「不轉選」 | 結果 |
|---|---|---|---|---|
A | A | B或C | A | 中獎 |
A | B | C | B | 不中 |
A | C | B | C | 不中 |
B | A | C | A | 不中 |
B | B | A或C | B | 中獎 |
B | C | A | C | 不中 |
C | A | B | A | 不中 |
C | B | A | B | 不中 |
C | C | A或B | C | 中獎 |
【表1】列1（左至右）是Monty Hall隱藏車的門；列2是參加者先選的門；列3是Monty Hall打開的門（Monty Hall只能打開參加者沒選而門後沒有隱藏車的門）；列4和列2一樣，因為參加者不轉選；列5是中獎結果。
【表1】列5清楚顯示，如果參加者不轉選，9個均等機會中只有3次中獎，因此不轉選的中獎機會為三分一（即一般人認為不轉選的中獎機會二分一是錯的）。
同樣的方法可以用來計算「轉選」的中獎結果，見【表2】：
Monty Hall將車隱藏在 | 參與者先選 | Monty Hall打開 | 參與者「轉選」 | 結果 |
|---|---|---|---|---|
A | A | B或C | C或B | 不中 |
A | B | C | A | 中獎 |
A | C | B | A | 中獎 |
B | A | C | B | 中獎 |
B | B | A或C | C或A | 不中 |
B | C | A | B | 中獎 |
C | A | B | C | 中獎 |
C | B | A | C | 中獎 |
C | C | A或B | B或A | 不中 |
【表2】列1、2、3（左至右）和前表列1、2、3一樣；列4和前表列4相反，因為參加者只能轉選Monty Hall沒打開的另一扇門；列5是中獎結果。
【表2】列5清楚顯示，如果參加者轉選，9個均等機會中有6次中獎，因此轉選的中獎機會為三分二（即一般人認為轉選的中獎機會二分一是錯的）。
其實，上述方法並非標準方法，標準方法是直接應用概率論的《貝葉斯法則》（Bayes’ rule），而《貝葉斯法則》提供的答案相同，即不轉選的中獎機會只有三分一，而轉選的中獎機會則是三分二。根據《貝葉斯法則》，參加者只需轉一轉，中獎機會便會翻一番，何樂而不為？經濟學家甚至將貝葉斯（Bayesian）定為理性標準特性之一，即理性的人必須遵循《貝葉斯法則》，不遵從《貝葉斯法則》的人便不理性。可想而知，Monty Hall難題對標準經濟學帶來一定的衝擊。
首當其衝的是《貝葉斯法則》，將貝葉斯定為理性特性之一是否恰當？Monty Hall難題顯示大部分人不遵從《貝葉斯法則》，但究竟是他們未能掌握《貝葉斯法則》，將轉選的中獎機會上調至三分二？抑或是就算他們得到和貝葉斯相同的結論，他們還是決定不轉選？兩位意大利經濟學家Morone和Fiore最近設計一個實驗，可助我們理解為什麼那麼多人在Monty Hall難題不遵從《貝葉斯法則》（Monty Hall’s Three Doors for Dummies）。
他們簡化Monty Hall難題，在參加者先選一扇門後，便直接問他是否願意轉選另外兩扇門？（簡化後的實驗再沒有（i）主持在參加者沒選的兩扇門中打開一扇沒有車的門和（ii）之後問參加者「轉不轉選另一扇門？」）他們簡化實驗的目的是讓參加者不需應用《貝葉斯法則》而得到和該法則相同的結論，即「不轉選」，只選一扇門（中獎機會為三分一），而「轉選」換取兩扇門，即時提高中獎機會至三分二。他們的實驗結果顯示更多人決定「轉選」，換取兩扇門；此結果為不少人未能掌握《貝葉斯法則》提供證據，因為這些人很可能未能掌握《貝葉斯法則》，但當他們得到和貝葉斯相同的結果，便決定轉選，提高中獎機會。
他們的實驗結果同時顯示，還有不少人決定「不轉選」。如果你不相信這些人弄不清選兩扇門的中獎機會是選一扇門的雙倍，便有需要解釋為何他們不轉選兩扇門，換取雙倍中獎機會。在這方面，行為經濟學以「現狀偏差」（status quo bias）（或「稟賦效應」endowment effect）解釋，因為人總覺得現狀比轉變好，就算轉選可提高中獎機會一倍，他們還是安於現狀。
Monty Hall難題揭示標準經濟學不足之處（如假設貝葉斯是理性特性之一似乎有點「離地」）；行為經濟學可補不足之餘，還有助我們了解標準經濟學如何不足，提醒我們在學術上切勿墨守成規。
程騰歡 香港大學經濟及工商管理學院副教授
（本文同時於二零二零年六月十七日載於《信報》「龍虎山下」專欄）
